Integración por descomposición en fracciones simples.

Consideremos integrales de la forma $ \int$$ {\frac{P(x)}{Q(x)}}$dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será: 

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$dx = $\displaystyle \int$C(x) dx + $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{R(x)}{Q(x)}}$dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).

Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:

        Q(x) = (x - a1).(x - a2)...(x - an)        

Caso 1.- Si las raíces del polinomio, ai, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:

        $ {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = $ {\frac{A_{1}}{x-a_{1}}}$ + $ {\frac{A_{2}}{x-a_{2}}}$ + .. + $ {\frac{A_{n}}{x-a_{n}}}$         

Determinamos el valor de los Ai efectuando la suma de fracciones:        

$ {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = $ {\frac{A_{1}(x-a_{2})..(x-a_{n})+A_{2}(x-a_{1}%%
)..(x-a_{n})+..A_{n}(x-a_{1})..(x-a_{n-1})}{Q(x)}}$         

e identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará: 

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$dx = A1ln(x - a1) + A2ln(x - a2) + .. + Anln(x - an)

Ejemplo: $ \int$$ {\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división, obteniendo: 

$\displaystyle \begin{array}[c]{r}%%
\text{x}^{4}\text{-4x}^{2}\text{+x+1}\\
\text{x}^{2}\text{+x-3}%%
\end{array}$ $\displaystyle \begin{array}[c]{l}%%
\begin{tabular}[c]{\vert l}%%
x$^{3}$+x$^{2}$-4x-4\\  \hline
\end{tabular}\\
\text{ x-1}%%
\end{array}$

Es decir: $ {\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ = x - 1 + $ {\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}%%
+x^{2}-4x-4}}$. Por tanto: 

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$dx = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{2}}$ - x + $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$dx

y en la segunda integral, el numerador es de grado menor que el denominador.

Descomponiendo: x3 + x2 - 4x - 4 = $ \left(\vphantom{ x-2}\right.$x - 2$ \left.\vphantom{ x-2}\right)$$ \left(\vphantom{ x+2}\right.$x + 2$ \left.\vphantom{ x+2}\right)$$ \left(\vphantom{ x+1}\right.$x + 1$ \left.\vphantom{ x+1}\right)$, y,        

$ {\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ = $ {\frac{A_{1}}{x-2}}$ + $ {\frac{A_{2}}{x+2}}$ + $ {\frac{A_{3}}{x+1}}$ = $ {\frac{A_{1}\left( x+2\right) \left( x+1\right) +A_{2}\left( x-2\right)
\left(...
...t) \left( x+2\right) }{\left(
x-2\right) \left( x+2\right) \left( x+1\right) }}$

 Identificando los numeradores será: 

x2 + x - 3 = A1$\displaystyle \left(\vphantom{ x+2}\right.$x + 2$\displaystyle \left.\vphantom{ x+2}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{ x+1}\right.$x + 1$\displaystyle \left.\vphantom{ x+1}\right)$ + A2$\displaystyle \left(\vphantom{
x-2}\right.$x - 2$\displaystyle \left.\vphantom{
x-2}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{ x+1}\right.$x + 1$\displaystyle \left.\vphantom{ x+1}\right)$ + A3$\displaystyle \left(\vphantom{
x-2}\right.$x - 2$\displaystyle \left.\vphantom{
x-2}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{ x+2}\right.$x + 2$\displaystyle \left.\vphantom{ x+2}\right)$

Para x = 2, será: 3 = 12A1, para x = - 2, -1 = 4A2, y para x = - 1, -3 = - 3A3.

Del sistema $ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{r}%%
3=12A_{1}\\
-1=4A_{2}\\
-3=-3A_{3}%%
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{r}%%
3=12A_{1}\\
-1=4A_{2}\\
-3=-3A_{3}%%
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{r}%%
3=12A_{1}\\
-1=4A_{2}\\
-3=-3A_{3}%%
\end{array}}\right\}$, $ \Rightarrow$ A1 = $ {\frac{1}{4}}$, A2 = - $ {\frac{1}{4}}$, A3 = 1.        

$ {\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ = $ {\frac{\frac{1}{4}}{x-2}}$ + $ {\frac{-\frac{1}%%
{4}}{x+2}}$ + $ {\frac{1}{x+1}}$, y la integral será:        

$ \int$$ {\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$dx = $ \int$$ {\frac{\frac{1}{4}}{x-2}}$dx + $ \int$$ {\frac{-\frac{1}{4}}{x+2}}$dx + $ \int$$ {\frac{1}{x+1}}$dx =

= $ {\frac{1}{4}}$ln(x - 2) - $ {\frac{1}{4}}$ln(x + 2) + ln(x + 1) + C = ln$ \left[\vphantom{ (x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right.$(x + 1)$ \sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}$$ \left.\vphantom{ (x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right]$ + C.

  La integral pedida es: 

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$dx = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{2}}$ - x + ln$\displaystyle \left[\vphantom{
(x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right.$(x + 1)$\displaystyle \sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{
(x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right]$ + C

Caso 2.- Si el denominador tiene también raíces reales múltiples del tipo (x - b)k, por cada una de ellas añadimos a la suma de fracciones simples del caso anterior las siguientes: 

$\displaystyle {\frac{B_{1}}{(x-b)}}$ + $\displaystyle {\frac{B_{2}}{(x-b)^{2}}}$ + .. + $\displaystyle {\frac{B_{K}}{(x-b)^{k}}}$

obteniendo la integral como suma de logaritmos neperianos y potencias de exponente negativo.

Ejemplo: $ \int$$ {\frac{x^{2}+x+3}{x^{3}+3x^{2}-4}}$dx.

Descomponemos el denominador, y: x3 + 3x2 - 4 = (x - 1)(x + 2)2.

Las fracciones simples serán:

$ {\frac{x^{2}+x+3}{x^{3}+3x^{2}-4}}$ = $ {\frac{A}{x-1}}$ + $ {\frac{B_{1}}{(x+2)}}$ + $ {\frac{B_{2}}{(x+2)^{2}}}$ = $ {\frac{A(x+2)^{2}+B_{1}(x-1)(x+2)+B_{2}(x-1)}{(x-1)(x+2)^{2}}}$.

Identificando los numeradores:

x2 + x + 3 = A(x + 2)2 + B1(x - 1)(x + 2) + B2(x - 1).

Para x = 1, 5 = 9A, para x = - 2, 5 = - 3B2, y por ejemplo para x = 0,        

3 = 4A - 2B1 - B2. El sistema será: $ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{l}%%
5=9A\\
5=-3B_{2}\\
3=4A-2B_{1}-B_{2}%%
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{l}%%
5=9A\\
5=-3B_{2}\\
3=4A-2B_{1}-B_{2}%%
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{l}%%
5=9A\\
5=-3B_{2}\\
3=4A-2B_{1}-B_{2}%%
\end{array}}\right\}$, de donde : A = $ {\frac{5}{9}}$, B1 = $ {\frac{4}{9}}$, y B2 = - $ {\frac{5}{3}}$.      

$ \int$$ {\frac{x^{2}+x+3}{x^{3}+3x^{2}-4}}$dx = $ \int$$ {\frac{\frac{5}{9}}{x-1}}$dx + $ \int$$ {\frac{\frac{4}{9}}{(x+2)}}$dx + $ \int$$ {\frac{-\frac{5}{3}}{(x+2)^{2}}}$dx

$ {\frac{5}{9}}$ln(x - 1) + $ {\frac{4}{9}}$ln(x + 2) - $ {\frac{5}{3}}$$ {\frac{(x+2)^{-2+1}}{-2+1}}$ + C =        

= ln$ \left[\vphantom{ \sqrt[9]{(x-1)^{5}(x+2)^{4}}}\right.$$ \sqrt[9]{(x-1)^{5}(x+2)^{4}}$$ \left.\vphantom{ \sqrt[9]{(x-1)^{5}(x+2)^{4}}}\right]$ + $ {\frac{5}{3(x+2)}}$ + C.

Caso 3.- Si en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible (ax2 + bx + c) añadimos a la suma de fracciones de los casos anterior una fracción del tipo $ {\frac{Mx+N}{ax^{2}+bx+c}}$. Una vez identificados los coeficientes M y N, a dicha fracción corresponderán integrales del tipo logarítmico y arco tangente.

Ejemplo: $ \int$$ {\frac{x^{2}-x+4}{x^{3}+2x^{2}+2x+1}}$dx.

La descomposición del denominador es: x3 + 2x2 + 2x + 1 = $ \left(\vphantom{
x^{2}+x+1}\right.$x2 + x + 1$ \left.\vphantom{
x^{2}+x+1}\right)$$ \left(\vphantom{ x+1}\right.$x + 1$ \left.\vphantom{ x+1}\right)$

(Al factor cuadrático x2 + x + 1 le corresponden las raíces complejas : - $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{\sqrt{3}}{2}}$i y - $ {\frac{1}{2}}$ - $ {\frac{\sqrt{3}}{2}}$i)

Identificamos $ {\frac{x^{2}-x+4}{x^{3}+2x^{2}+2x+1}}$ = $ {\frac{A}{x+1}}$ + $ {\frac{Mx+N}{x^{2}+x+1}}$, obteniendo A = 6, M = - 5, y N = - 2.

$ \int$$ {\frac{x^{2}-x+4}{x^{3}+2x^{2}+2x+1}}$dx = 6 ln$ \left(\vphantom{ x+1}\right.$x + 1$ \left.\vphantom{ x+1}\right)$ - $ {\frac{5}{2}}$ln$ \left(\vphantom{
x^{2}+x+1}\right.$x2 + x + 1$ \left.\vphantom{
x^{2}+x+1}\right)$ + $ {\frac{1}{3}}$$ \sqrt{3}$arctan$ {\frac{1}{3}}$$ \left(\vphantom{ 1+2x}\right.$1 + 2x$ \left.\vphantom{ 1+2x}\right)$$ \sqrt{3}$ + C.