INTEGRALES IMPROPIAS.

Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.      

Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua $ \forall$x $ \geq$ a. Si existe $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \int_{a}^{b}$f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + $ \infty$), y definimos:        

        $ \int_{a}^{+\infty}$f (x) dx = $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \int_{a}^{b}$f (x) dx        

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + $ \infty$).        

De igual modo, definimos también $ \int_{-\infty}^{b}$f (x) dx = $ \lim\limits_{a\rightarrow-\infty}^{}$$ \int_{a}^{b}$f (x) dx, y        

$ \int_{-\infty}^{+\infty}$f (x) dx = $ \lim\limits_{a\rightarrow-\infty}^{}$$ \int_{a}^{c}$f (x) dx + $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \int_{c}^{b}$f (x) dx, si los límites existen.

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = $ {\frac{1}{x^{2}}}$ con el eje X, a partir de x = 1.        

$ \int_{1}^{+\infty}$$ {\frac{1}{x^{2}}}$dx = $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \int_{1}^{b}$$ {\frac{1}{x^{2}}}$dx = $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \left[\vphantom{
\frac{x^{-1}}{-1}}\right.$$ {\frac{x^{-1}}{-1}}$$ \left.\vphantom{
\frac{x^{-1}}{-1}}\right]_{1}^{b}$ = $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \left(\vphantom{
\frac{-1}{b}-(-1)}\right.$$ {\frac{-1}{b}}$ - (- 1)$ \left.\vphantom{
\frac{-1}{b}-(-1)}\right)$ = 1 u.a.      

Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \int_{a+\delta}^{b}$f (x) dx, definimos:        

        $ \int_{a}^{b}$f (x) dx = $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \int_{a+\delta}^{b}$f (x) dx        

Si el límite no existe, diremos que $ \int_{a}^{b}$f (x) dx es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:        

$ \int_{0}^{1}$ln x dx = $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \int_{0+\delta}^{1}$ln x dx = $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \left[\vphantom{ x\ln x-x}\right.$x ln x - x$ \left.\vphantom{ x\ln x-x}\right]_{\delta}^{1}$ = - 1 - $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \left(\vphantom{ \delta\ln\delta}\right.$$ \delta$ln$ \delta$$ \left.\vphantom{ \delta\ln\delta}\right)$ = - 1.

  El recinto tendrá 1 u.a.

Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = $ {\frac{1}{(x-1)^{2}}}$ entre x = 0 y x = 2.

La función no está acotada en x = 1.        

S = $ \int_{0}^{1}$$ {\frac{1}{(x-1)^{2}}}$dx + $ \int_{1}^{2}$$ {\frac{1}{(x-1)^{2}}}$dx = $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \int_{0}^{1-\delta}$$ {\frac{1}{(x-1)^{2}}}$dx + $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \int_{1+\delta}^{2}$$ {\frac{1}{(x-1)^{2}}}$dx =        

= $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \left[\vphantom{ -\frac{1}{x-1}}\right.$ - $ {\frac{1}{x-1}}$$ \left.\vphantom{ -\frac{1}{x-1}}\right]_{0}^{1-\delta}$ + $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$$ \left[\vphantom{ -\frac{1}{x-1}}\right.$ - $ {\frac{1}{x-1}}$$ \left.\vphantom{ -\frac{1}{x-1}}\right]_{1+\delta
}^{2}$ = $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$($ {\frac{1}{\delta}}$ - 1) + $ \lim\limits_{\delta\rightarrow
0^{+}}^{}$(- 1 + $ {\frac{1}{\delta}}$) = $ \infty$.

 La integral impropia es divergente.    

    

Otras aplicaciones.

Ejemplo: Después de x semanas, se prevé que se recauden f (x) = xe3 - x millones de pesetas por semana. ¿En qué momento la afluencia de dinero será máxima?. ¿Cuánto será lo recaudado en las tres primeras semanas?. ¿Cuánto se recaudaría si el tiempo fuese ilimitado?.

f$\scriptstyle \prime$(x) = - e3 - x$ \left(\vphantom{ -1+x}\right.$ -1 + x$ \left.\vphantom{ -1+x}\right)$ = 0 $ \Rightarrow$ x = 1. 

La afluencia de dinero será máxima en la primera semana.

Lo recaudado en las tres primeras semanas será:        

$ \int_{0}^{3}$f (x)dx = - 4 + e3 $ \simeq$ 16.086 millones de pesetas.

 En tiempo ilimitado, la recaudación sería:        

$ \int_{0}^{+\infty}$f (x)dx = $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \int_{0}^{b}$(xe3 - x)dx = $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \left[\vphantom{ -4e^{3-x}+e^{3-x}\left( 3-x\right)
}\right.$ -4e3 - x + e3 - x$ \left(\vphantom{ 3-x}\right.$3 - x$ \left.\vphantom{ 3-x}\right)$$ \left.\vphantom{ -4e^{3-x}+e^{3-x}\left( 3-x\right)
}\right]_{0}^{b}$ =        

= $ \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}^{}$$ \left(\vphantom{ -e^{3-b}-e^{3-b}b+e^{3}}\right.$ - e3 - b - e3 - bb + e3$ \left.\vphantom{ -e^{3-b}-e^{3-b}b+e^{3}}\right)$= e3 $ \simeq$ 20.086 millones de pesetas.