Integración por partes:

Se descompone el integrando en dos partes, u y dv, y utilizamos la fórmula: 

$\displaystyle \int$udv = uv -$\displaystyle \int$vdu

Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso.        

$ \int$xe-xdx = $ \left[\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=x & dv=e^{-x}dx\\
du=dx & v=-e^{-x}%%
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{ll}%%
u=x & dv=e^{-x}dx\\
du=dx & v=-e^{-x}%%
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=x & dv=e^{-x}dx\\
du=dx & v=-e^{-x}%%
\end{array}}\right]$= - xe-x - $ \int$(- e-x) dx = - xe-x - e-x + C        

$ \int$x2sen x dx = $ \left[\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=x^{2} & dv=senxdx\\
du=2xdx & v=-\cos x
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{ll}%%
u=x^{2} & dv=senxdx\\
du=2xdx & v=-\cos x
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=x^{2} & dv=senxdx\\
du=2xdx & v=-\cos x
\end{array}}\right]$ = - x2cos x + 2$ \int$x cos x dx=        

= $ \left[\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=x & dv=\cos xdx\\
du=dx & v=senx
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{ll}%%
u=x & dv=\cos xdx\\
du=dx & v=senx
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=x & dv=\cos xdx\\
du=dx & v=senx
\end{array}}\right]$ = - x2cos x + 2(x sen x - $ \int$sen  dx) =        

= - x2cos x + 2xsen x + 2 cos x + C        

$ \int$ex cos x dx = $ \left[\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=e^{x} & dv=\cos xdx\\
du=e^{x}dx & v=senx
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{ll}%%
u=e^{x} & dv=\cos xdx\\
du=e^{x}dx & v=senx
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=e^{x} & dv=\cos xdx\\
du=e^{x}dx & v=senx
\end{array}}\right]$ = ex sen x - $ \int$ex sen x dx =        

= $ \left[\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=e^{x} & dv=senxdx\\
du=e^{x}dx & v=-\cos x
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{ll}%%
u=e^{x} & dv=senxdx\\
du=e^{x}dx & v=-\cos x
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=e^{x} & dv=senxdx\\
du=e^{x}dx & v=-\cos x
\end{array}}\right]$ = ex sen x - $ \left(\vphantom{ -e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\cos x)dx}\right.$ - ex cos x - $ \int$ex(- cos x)dx$ \left.\vphantom{ -e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\cos x)dx}\right)$ =        

=ex(sen x + cos x) - $ \int$ex cos x dx.        

Si llamamos I a la integral original es: I= ex(sen x + cos x) -I.        

De donde I = $ {\frac{1}{2}}$ex(sen x + cos x) + C.        

$ \int$ln xdx = $ \left[\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=\ln x & dv=dx\\
du=\frac1xdx & v=x
\end{array}}\right.$$ \begin{array}[c]{ll}%%
u=\ln x & dv=dx\\
du=\frac1xdx & v=x
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}[c]{ll}%%
u=\ln x & dv=dx\\
du=\frac1xdx & v=x
\end{array}}\right]$ = x ln x - $ \int$dx = x ln x - x + C.