Son indeterminados los tipos:         $ \infty$ - $ \infty$, 0 . $ \infty$, $ {\frac{\infty}{\infty}}$, $ {\frac{0}{0}}$, 1$\scriptstyle \infty$, 00, $ \infty^{0}_{}$.        

Para resolver las indeterminaciones utilizaremos técnicas similares a las vistas en sucesiones.        

En el tipo $ {\frac{0}{0}}$ donde la función es un cociente de polinomios que se anulan en a, dividimos numerador y denominador por el binomio (x - a).

Ejemplo.- $ \lim\limits_{x\rightarrow-1}^{}$$ {\frac{x^{3}-2x^{2}+x+4}{x^{2}-1}}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow-1}^{}$$ {\frac{(x+1).(x^{2}-3x+4)}{(x+1).(x-1)}}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow-1}^{}$$ {\frac{(x^{2}-3x+4)}{(x-1)}}$ = - 4        

Una función f (x) se dirá un infinitésimo en a, si $ \lim\limits_{x\rightarrow a}^{}$f (x) = 0. Infinitésimos equivalentes serán aquellos en los que el límite de su cociente es 1. Un infinitésimo $ \alpha$(x) se dirá de orden n en a si $ \lim\limits_{x\rightarrow a}^{}$$ {\frac{\alpha(x)}{(x-a)^{n}}}$ = B $ \neq$ 0. En límites del tipo $ {\frac{0}{0}}$ puede sustituirse un infinitésimo por su equivalente si figura en productos y cocientes. (No en sumas). Los infinitésimos equivalentes más utilizados son:        

 
$ \begin{array}[c]{ccc}%% senx & \approx & x\\ & ~^{x\rightarrow0} & \end{array}$              $ \begin{array}[c]{ccc}%% \text{tg}x & \approx & x\\ & ~^{x\rightarrow0} & \end{array}$          $ \begin{array}[c]{ccc}%% 1-\cos x & \approx & \frac{x^{2}}2\\ & ~^{x\rightarrow0} & \end{array}$
$ \begin{array}[c]{ccc}%% \ln(1+x) & \approx & x\\ & ~^{x\rightarrow0} & \end{array}$      $ \begin{array}[c]{ccc}%% \ln x & \approx & x-1\\ & ~^{x\rightarrow1} & \end{array}$     $ \begin{array}[c]{ccc}%% a^{x}-1 & \approx & \ln a\\ & ~^{x\rightarrow0} & \end{array}$
$ \begin{array}[c]{ccc}%% (1+x)^{m}-1 & \approx & mx\\ & ~^{x\rightarrow0} & \end{array}$
 

Ejemplos.-

a) $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{sen^{2}3x}{1-\cos2x}}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{(sen3x).(sen3x)}{1-\cos2x}}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{(3x)^{2}}{\frac{(2x)^{2}}{2}}}$ = $ {\frac{9}{2}}$

b) $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$(cos x)cotg2x = e$\scriptstyle \lim\limits_{x\rightarrow0}$$\scriptstyle \left(\vphantom{ \cos x-1}\right.$cos x - 1$\scriptstyle \left.\vphantom{ \cos x-1}\right)$.cotg2x = e$\scriptstyle \lim\limits_{x\rightarrow0}$$\scriptstyle {\frac{-\left( 1-\cos x\right) }{\text{tg}%% ^{2}x}}$ = e$\scriptstyle \lim\limits_{x\rightarrow0}$$\scriptstyle {\frac{-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}}$ = e- $\scriptstyle {\frac{1}{2}}$ = $ {\frac{1}{\sqrt{e}}}$

c) $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{senx-tgx}{\left( 1-\cos2x\right) .tgx}}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{senx-\frac{senx}{\cos x}}{\frac{\left( 2x\right) ^{2}}{2}\cdot x}}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{\frac{senx.\cos x-senx}{\cos x}}{2x^{3}%% }}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{senx(\cos x-1)}{\cos x.(2x^{3})}}$ =

= $ \lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$$ {\frac{x.\frac{-x^{2}}{2}}{\cos x.(2x^{3})}}$ = - $ {\frac{1}{4}}$. (En el numerador de la primera fracción no pueden utilizarse infinitésimos, por ser una diferencia).        

En límites indeterminados de potencias del Tipos 00, y Tipo $ \infty^{0}_{}$utilizamos la transformación: 

lim(f (x))g(x) = elim(g(x)ln f(x))         (siendof (x) no negativa).

  Ejemplo.-

$ \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}^{}$$ \sqrt[x]{x}$ = $ \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}^{}$x$\scriptstyle {\frac{1}{x}}$ = e$\scriptstyle \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}$$\scriptstyle {\frac{1}{x}}$ln x = e$\scriptscriptstyle \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}$$\scriptscriptstyle {\frac{1}{n}}$ln n =(Stolz) = e$\scriptstyle \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}$$\scriptstyle {\frac{\ln n-\ln(n-1)}{n-(n-1)}}$ =

= e$\scriptstyle \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}$ln$\scriptstyle {\frac{n}{n-1}}$ = eln 1 = 1