31. Para saber donde $ y=x\ln x$ es creciente o decreciente hacemos $ y^{\prime}=\ln x+1$ que se anula en $ \frac{1}{e}$. Entonces $ y^{\prime}>0$ y por tanto creciente en $ (\frac{1}{e},+\infty)$ y $ y^{\prime}<0$ y por tanto decreciente en $ (0,\frac{1}{e}).$

32. Para hallar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de $ y=x^{3}-6x^{2}+11$ calculamos $ y^{\prime\prime
}=6x-12$. Entonces $ y^{\prime\prime}>0$ y por tanto cóncava en $ (2,+\infty)$ y $ \ y^{\prime\prime}<0$ y por tanto convexa en $ (-\infty,2).$ En $ x=2$ es $ y^{\prime\prime}=0$ además $ y^{\prime\prime\prime}=6\neq0$ luego en $ x=2$ hay un punto de inflexión.

33. Para hallar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de $ y=5x+9x^{2}-x^{3}$ calculamos $ y^{\prime\prime
}=18-6x.$ Entonces $ y^{\prime\prime}>0$ y por tanto cóncava en $ (-\infty,3)$ y $ \ y^{\prime\prime}<0$ y por tanto convexa en $ (3,+\infty).$ En $ x=3$ es $ y^{\prime\prime}=0$ además $ y^{\prime\prime\prime}=-6\neq0$ luego en $ x=3$ hay un punto de inflexión.

34. Hallar dos números cuya suma es 24, si el producto de uno por el cubo de otro ha de ser máximo. La función que es objeto de máximo es $ P=a.b^{3}$ siendo $ a+b=24$ es decir $ a=24-b$, por tanto $ P=(24-b)b^{3}$. Hacemos $ P^{\prime}=72b^{2}-4b^{3}=0$ y salen las raíces $ b_{1}=0$ y $ b_{2}=18$. Además $ P^{\prime\prime}=144b-12b^{2}$. Para $ b=18$ es $ P^{\prime\prime}<0$ luego el máximo sale para $ b=18$ y $ a=6.$

35. Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3.600m$ ^{2}$ de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima. La función que es objeto de mínimo es la longitud de la valla $ L=2x+2y$ donde $ x$ es el ancho y $ y$ es el largo de la valla. Además $ xy=3600$ luego $ x=\frac{3600}{y}$, entonces $ L=2\frac{3600}{y}+2y$. Hacemos $ L^{\prime
}=-\frac{7200}{y^{2}}+2=0$ y obtenemos las raíces -60 y 60. Además $ L^{\prime\prime}=\frac{14400}{y^{3}}$. Para $ y=60$ es $ L^{\prime\prime}>0$ luego el mínimo sale para $ y=60$ y $ x=60.$